本质矩阵的内在性质的证明

发表于 2022-11-29

本质矩阵$\boldsymbol{E} = \boldsymbol{t}^{\land} \boldsymbol{R}$的奇异值必定是$[\sigma, \ \sigma, \ 0]^{T}$的形式，这称为本质矩阵的内在性质

证明过程

$\because \boldsymbol{E}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^T$

$ ^T = ^T ( ^T)T = ^TT =^T $

又$\because\boldsymbol{E}\boldsymbol{E}^T = \boldsymbol{t}^{\land} \boldsymbol{R}(\boldsymbol{t}^{\land} \boldsymbol{R})^T = \boldsymbol{t}^{\land} \boldsymbol{R} \boldsymbol{R}^T \boldsymbol{t}^{\land T} = \boldsymbol{t}^{\land} \boldsymbol{t}^{\land T} =\left[\begin{matrix}0 & -t_z & t_y \\t_z & 0 & -t_x \\ -t_y & t_x & 0 \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix}0 & t_z & -t_y \\ -t_z & 0 & t_x \\ t_y & -t_x & 0 \end{matrix} \right]$

考虑到$\boldsymbol{E}$的尺度等价性（$\boldsymbol{E}$只有5个自由度），将$\boldsymbol{t}= [t_x \ t_y \ t_z]^T$归一化为单位矢量，即$t_x^2 + t_y^2 + t_z^2 = 1$

那么可由$\left|\lambda \boldsymbol{I} - \boldsymbol{E}\boldsymbol{E}^T \right| = 0$求取$\boldsymbol{E}\boldsymbol{E}^T$的特征值

行列式展开得$\lambda(\lambda-1)^2= 0$，即$\boldsymbol{M} = diag(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = diag(1, 1, 0)$

又$\because \boldsymbol{M} = \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{\Sigma}^T$

$\therefore \boldsymbol{\Sigma} = diag(1, 1, 0)$

得证

PS:《计算机视觉中的多视图几何》第九章也给出了证明，但需要更强的数学基础

参考文献

https://blog.csdn.net/zengxyuyu/article/details/106676509
《视觉SLAM十四讲》第二版
《计算机视觉中的多视图几何》第二版